Lab 3. VQE 최적화와 Bell 상태

학습 목표

변분 양자 알고리즘(VQE)의 최적화 과정을 이해한다
cos(θ)의 최솟값을 양자 회로로 찾는 과정을 관찰한다
Bell 상태를 생성하고 얽힘의 특징을 측정으로 확인한다

핵심 개념

VQE (Variational Quantum Eigensolver)

양자 회로의 파라미터 θ를 조정하여 기댓값 ⟨Z⟩ = cos(θ)를 최소화한다. cos(θ)의 최솟값은 θ = π일 때 -1이다. 옵티마이저가 gradient를 따라 θ를 π로 이동시키는 과정이 VQE의 핵심이다.

\[ \min_\theta \langle Z \rangle = \min_\theta \cos(\theta) = -1 \quad (\theta = \pi) \]

Bell 상태와 얽힘

Hadamard + CNOT으로 만든 Bell 상태 \(|\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)\)는 두 큐비트가 완전히 상관된 상태이다. 측정하면 반드시 |00⟩ 또는 |11⟩만 나오고, |01⟩이나 |10⟩은 나오지 않는다.

VQE 문제 정의

RX(θ) 회로에서 ⟨Z⟩ = cos(θ)이다. 이 값을 최소화하는 θ를 옵티마이저가 자동으로 찾게 한다. 정답은 θ = π (cos(π) = -1)이다.

VQE 회로와 최적화

dev1 = qml.device("default.qubit", wires=1)

@qml.qnode(dev1)
def vqe_cost(params):
    qml.RX(params[0], wires=0)
    return qml.expval(qml.PauliZ(0))

opt    = qml.GradientDescentOptimizer(stepsize=0.4)
params = np.array([0.5], requires_grad=True)
history = []

for step in range(50):
    params = opt.step(vqe_cost, params)
    cost   = float(vqe_cost(params))
    history.append(cost)

VQE 시각화: 수렴 과정

VQE 수렴 과정

해석

초기값 θ = 0.5에서 출발하여, gradient descent가 cos(θ)의 기울기를 따라 θ를 π 방향으로 이동시킨다. 약 30 step 이후 ⟨Z⟩ ≈ -1에 수렴한다. 이것이 VQE의 기본 원리이며, 실제 응용에서는 cos(θ) 대신 분자의 에너지를 최소화한다.

step	θ	⟨Z⟩
0	0.5	~0.88
20	~2.8	~-0.94
50	~3.14	~-1.00

Bell 상태 회로 정의

Hadamard로 큐비트 0을 중첩시킨 뒤, CNOT으로 큐비트 1과 얽는다.

dev2 = qml.device("default.qubit", wires=2)

@qml.qnode(dev2)
def bell_probs():
    qml.Hadamard(wires=0)
    qml.CNOT(wires=[0, 1])
    return qml.probs(wires=[0, 1])

@qml.qnode(dev2)
def bell_corr():
    qml.Hadamard(wires=0)
    qml.CNOT(wires=[0, 1])
    return (
        qml.expval(qml.PauliZ(0)),
        qml.expval(qml.PauliZ(1)),
        qml.expval(qml.PauliZ(0) @ qml.PauliZ(1)),
    )

@qml.qnode(dev2)
def bell_sample():
    qml.Hadamard(wires=0)
    qml.CNOT(wires=[0, 1])
    return qml.sample(wires=[0, 1])

Bell 회로 시각화

Bell 상태 회로

해석적 확률과 상관관계

상태	확률	의미
\|00⟩	0.5	둘 다 0
\|01⟩	0.0	불가능
\|10⟩	0.0	불가능
\|11⟩	0.5	둘 다 1

⟨Z₀⟩ = 0, ⟨Z₁⟩ = 0이지만 ⟨Z₀Z₁⟩ = 1이다. 개별 큐비트는 무작위(50:50)이지만, 두 큐비트를 함께 보면 항상 같은 값이 나온다. 이것이 얽힘의 핵심이다.

샘플링 측정

Bell 시각화: 측정 결과

Bell 상태 측정 결과

|00⟩과 |11⟩만 관측된다. |01⟩과 |10⟩의 막대는 0이다. 정확히 50:50이 아닌 이유는 유한 샘플링에 의한 통계 변동이며, shots를 늘리면 50:50에 수렴한다.

과제 1: VQE 초기값 변경

VQE의 초기 파라미터를 params = np.array([3.0])으로 변경하라. π에 가까운 값에서 출발하면 수렴이 더 빠른가?

# 학생 수정: params = np.array([3.0], requires_grad=True)
# 재실행 후 수렴 속도 비교

과제 2: stepsize 비교

VQE의 stepsize를 0.1과 0.8로 각각 실행하라. 0.1은 느리지만 안정적이고, 0.8은 빠르지만 진동할 수 있다.

# 학생 수정: opt = qml.GradientDescentOptimizer(stepsize=0.1)
# 다시: opt = qml.GradientDescentOptimizer(stepsize=0.8)
# 두 학습 곡선을 비교하라

과제 3: Bell 상태 shots 비교

shots를 100과 10000으로 각각 실행하라. |01⟩이나 |10⟩이 0회인지 확인하라. shots=100에서도 이 두 상태는 절대 나오지 않는다. 왜 그런가?

# 학생 수정: shots = 100 으로 변경 후 재실행
# 다시 shots = 10000 으로 변경 후 재실행
# |01>과 |10>이 0회인 이유를 생각하라

힌트: |01⟩과 |10⟩의 확률이 정확히 0이기 때문이다. shots를 아무리 늘려도 확률 0인 상태는 나오지 않는다. 이것은 Lab 2의 probs에서 본 "확률이 0이 아닌 상태"만 sample에서 관측되는 것과 같은 원리이다.